Prawo Darcy’ego

Prawo Darcy’ego — Prawo Darcy’ego, formuła Darcy’ego, liniowe prawo filtracji – równanie opisujące przepływ wody przez ośrodek porowaty. Zgodnie z treścią prawa Darcy’ego objętościowe natężenie filtracji, czyli ilość wody przepływającej przez ośrodek porowaty w jednostce czasu jest proporcjonalna do spadku hydraulicznego, poprzecznego przekroju prowadzącego wodę oraz współczynnika filtracji.

Filtracja

Filtracja (ruch wody w gruntach) definiowana jest jako zdolność wody do przesączania się przez ośrodek porowaty pod wpływem różnicy ciśnień. Zależy głównie od właściwości fizycznych filtrującej wody oraz od właściwości fizycznych gruntu – zdolności gruntu do przepuszczania wody przez system połączonych porów (przepuszczalności hydraulicznej, wodoprzepuszczalności).

Wyróżnia się trzy rodzaje filtracji:

• filtracja laminarna (warstwowa) – ruch polegający na bardzo powolnym przesączaniu się wody przez system porów i kanalików, cząsteczki wody w poszczególnych warstwach poruszają się równolegle względem siebie; nie dochodzi do mieszania się cząsteczek wody pomiędzy różnymi warstwami; filtracja laminarna jest zależna liniowo od spadku hydraulicznego (stosunku różnicy wysokości wody gruntowej do długości jej przepływu);
• filtracja turbulentna (burzliwa) – ruch wody odbywający się z większą prędkością (przekraczającą prędkość krytyczną); cząsteczki wody poruszają się ruchem postępowym, wstecznym oraz wirowym, w związku z czym często dochodzi do ich zderzania się i mieszania; filtracja turbulentna jest proporcjonalna do spadku hydraulicznego w potędze ½;
• filtracja mieszana (nieliniowa) – ruch wody odbywający się w niejednorodnych warstwach wodonośnych, charakteryzujący się występowaniem w poszczególnych warstwach ruchów o charakterze filtracji laminarnej i filtracji turbulentnej; filtracja nieliniowa zależy od spadku hydraulicznego o wykładniku potęgowym ½ < n < 1.

Przepływ laminarny, fot. shutterstock

Prawo Darcy’ego dla przepływów laminarnych

Prawo Darcy’ego jest równaniem opisującym laminarny przepływ wody przez ośrodek porowaty (głównie osady drobnoziarniste). Nazwa upamiętnia francuskiego inżyniera i hydrologa Henry’ego Philiberta Gasparda Darcy’ego (1803-1858) prowadzącego badania nad przepuszczalnością warstw piasku dla wody w trakcie projektowania systemu fontann w mieście Dijon w latach 1855-1856. Badania te polegały na przepuszczaniu wody przez próbki piasku umieszczone w cylindrze metalowym w celu zmierzenia różnicy poziomów wody w cylindrze i naczyniu odpływowym oraz ilości wody przepływającej w danej jednostce czasu.

gdzie:

• Q – objętość wody przepływającej w jednostce czasu [m³/s],
• k – współczynnik filtracji [m/s],
• A – powierzchnia przekroju prowadzącego wodę [m²],
• J  – spadek hydrauliczny – różnica wysokości słupów wody bądź różnica ciśnień na drodze przepływu:

Prędkość przepływu wody (V) w przekroju prowadzącym wodę (A) określa zależność:

Przekształcając powyższe równanie otrzymujemy wzór na powierzchnię przekroju ( A ):

Powyższe równanie ukazuje liniową zależność prędkości filtracji od spadku hydraulicznego, w związku z czym prawo Darcy’ego określane jest również mianem liniowego prawa filtracji.

Zgodnie z treścią prawa Darcy’ego objętościowe natężenie filtracji, czyli ilość wody przepływającej przez ośrodek porowaty w jednostce czasu (Q) jest proporcjonalna do spadku hydraulicznego ( ∆ h = h_b − h_a ) na drodze przepływu (l ), poprzecznego przekroju prowadzącego wodę ( A ) oraz współczynnika filtracji (k) źródło: Wikimedia.org

Współczynnik filtracji (k)

Współczynnik filtracji (k) (stała Darcy’ego) określa zdolność przesączania się cząsteczek wody poruszających się ruchem laminarnym przez system porów i kanalików gruntów porowatych i stanowi miarę przepuszczalności hydraulicznej (wodoprzepuszczalności) gruntów.

właściwości filtrującej cieczy (wody):

• temperatury,
• składu chemicznego,
• gęstości,
• lepkości.

właściwości fizycznych gruntu:

• uziarnienia,
• porowatości,
• składu mineralnego,
• struktury i tekstury.

Współczynnik filtracji ( k ) można wyznaczyć korzystając z prawa Darcy’ego:

gdzie:

• k – współczynnik filtracji [m/s ], 

• Q – objętość przepływu w jednostce czasu, Q = V/t = v ∙ A , 
• V – objętość [m³ ], 
• t – czas [ s ], 
• v –  prędkość filtracji [ m/s ], 
• A – powierzchnia przekroju [m² ], 

• J  – spadek hydrauliczny,  J = ∆ h / l , 
• h – różnica poziomów [ m ], 
• l  – długość pozornej drogi filtracji liczona w linii prostej od początku do końca, niezależnie od krętości kanalików porowych [m], 
• v – prędkość wody [m/s].

Z powyższej zależności wynika, że spadek hydrauliczny ( J ) jest odwrotnie proporcjonalny do współczynnika filtracji ( k ):

Oznacza to, że w utworach cechujących się dobrą przepuszczalnością (piaski gruboziarniste, żwiry) spadki hydrauliczne są mniejsze w porównaniu z utworami trudno przepuszczalnymi (np. piaski drobnoziarniste, pylaste) przy tej samej wartości prędkości filtracji.

Znajomość prawa Darcy’ego oraz wynikających z niego zależności wykorzystywana jest m.in. do projektowania ujęć wód podziemnych, fot. shutterstock

Znaczenie prawa Darcy’ego

Prawo Darcy’ego oraz wynikające z niego zależności są powszechnie wykorzystywane w budownictwie ziemnym (m.in. w celu obniżenia poziomu wód gruntowych podczas robót fundamentowych) oraz budownictwie wodnym (m.in. w celu określenia przepuszczalności grobli ziemnych i dna zbiorników wodnych, projektowaniu uszczelnień).